Defiinisi dan Aksioma Aljabar Boolean

1. Definisi

Definisi 2.1 :
Aljabar Boolean adalah sistem aljabar yang berisi set S dngan dua operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) yang di definisikan pada set itu sehingga memenuhi ketentuan berikut :
1. Aturan A1 sampai A5, M1 sampai M3, M5, D1, dan D2.
2. Setiap elemen adalah "idempotent", yaitu if a E S, maka a.a = a

Definisi 2.2 :
Aljabar Boolean adalah sistem aljabar yang berisi set S dengan dua operasi + dan . yang didefinisikan pada set, sehinga stiap elemen a, b, dan c dari S mempunyai sifat-sift atau aksioma-aksioma berikut :

A1.	a + b E S	<closure>
M1.	a.b E S	<closure>
A2.	A + (b + c) = (a + b) + c	<asosiatif>
M2.	a.(b.c) = (a.b).c	<asosiatif>
A3.	Jika 0 E S maka untuk setiap a E S, adalah a + 0 = 0 + a = a	<identitas>
M3.	Jika 1 E S maka untuk setiap a E S, adalah a.1 = 1.a = a	<identitas>
A5.	a + b = b + a	<komutatif>
M5.	a.b = b.a	<komutatif>
D1.	a.(b + c) = a.b + a.c	<distributif>
D2.	(a + b).c = a.c + b.c	<distributif>
D3.	a + (b.c) = (a+b).(a+c)	<distributif>
D4.	(a.b) + c = (a + c).(b + c)	<distributif>
C1.	Untuk setiap a E S, dan a’ E S, maka a + a’ = 1 dan a.a’ = 0	<komplemen>

2.2 Prinsip Dualitas

Teorema 2.1

Untuk setiap elemen a, berlaku : a + a = a dan aa = a

Teorema 2.2

Untuk setiap elemen a, berlaku : a + 1 = 1 dan a.0 = 0

Teorema 2.3

Untuk setiap elemen a dan b, berlaku : a + a.b = a dan a(a + b) = a (disebut dengan hukum Penyerepan)

Teorema 2.4

Untuk setiap elemen a dan b, berlaku : (a.b)’ = a’ + b’ dan (a + b)’ = a’b’ (disebut dengan Hukum de Morgan)

Teorema 2.5

0’ = 1 dan 1’ = 0

Teorema 2.6

Jika suatu aljabar Boolean berisi paling sedikit dua elemen berbeda, maka 0 = 1 . Pembuktian rumus dualitas diakukan berdasar aksioma d sifat dari aljabar Boolean, yaitu :

           

1a. Pernyataan : a + a = a

                  Bukti

 a + a = (a + a) (1)                   identitas

                                     (a + a) (a + a’)            komplemen

                                      a + (a.a’)                    distributif

                                      a + 0                          komplemen

                                      a                                identitas

            1b. Pernyataan : a.a = a

                  Bukti

a. a = a.a + 0                identitas          (dual dari 1a)

                                  a.a + a.a’            komplemen

                                  a (a.a’)               distributif

                                  a.1                     komplemen

                                  a                         identitas

            2a. Pernyataan : a + 1 = a

                  Bukti

                        a + 1 = a + (a + a’)      komplemen

                                    (a + a) + a’       asosiatif

                                    a + a’               teorema (1a)

1                                            komplemen

2b. Pernyataan : a.0 = a

      Bukti

            a.0 = a.(a.a’)                komplemen      (dual dari 2)

                     (a.a).a’                asosiatif          

                     a.a’                     idempoten

                     0                         komplemen

3a. Pernyataan : a + ab = a

      Bukti

            a + ab = a.1 + a.b                    identitas

                          a(1 + b)                      distributif

                          a + 1                          teorema (2a)

                          a                                identitas

3b. Pernyataan : a.(a + b) = a

      Bukti

            a.(a + b) = a.a + a.b                 distributif

                              a + ab                    idempoten

                              a.1  + ab                identitas

                              a(1 + b)                  distributif

                              a.1                         teorema (2a)

                              a                            identitas

4a. Pernyataan : (a.b)’ = a

      Bukti

      (a.b)’ = a’ + b’

      diketahui   : (ab) (ab)’ = 0

      diperlihatkan : (ab) (a’ + b’) = 0

      Bukti

            (ab) (a’ + b’) = aba’ + abb’      distributif

                                     0.b + a.0         komplemen

                                     0 + 0               teorema (2b)

0                                           identitas

4b. Pernyataan : (a.b) = a

      Bukti

                        (a = b)’ = a’b’

                        diketahui : (ab) + (ab)’ = 1

                        diperlihatkan : ab + a’ + b’ = 1

                  Bukti

                        ab + (a’ + b’) = (a + a’ + b) (b + a’ + b)          distributif

                                                  (1 + b’) (1 + a’)                     komplemen

1.1                                                                                   teorema (2a)

1                                            identitas

2.3 Aturan <= (Lebih Kecil Daripada)

            Definisi 2.3

            x dan y adalah elemen-elemen ari aljabar Boolean. Dinyatakan bahwa :

            x lebih kecil daripada y ( x<= y) jika dan hanya jika x + y = y

            Teorema 2.7

            <= adalah suatu bagian dari urutan

            Bukti

            Dari teorema 1 : x + x = x, sehingga x <= x

            Jika x <= y, maka x + y = y

            Jika y <= x, maka x= y = y + x= x

            Sehingga jika x <= y dan y <= x, maka x = y

            Dapat disimpulkan :

            x <= y dan y<=z, maka x + y = y dan y + z = z

            x + z = x + (y + z) = (x + y) + z = y + z = z

Sehingga x <= z

Teorema 2.8

Jika x, y, dan z adalah elemen-elemen dari aljabar Boolean, maka <= mempunyai sifat-sifat berikut :

·         Jika x <= y dan x <= z, maka x <= yz

·         Jika x <= y, maka x <= y + z untuk elemen z

·         Jika x <= y, maka xz <= y untuk elemen z

·         x <= y jika dan hanya jika y’ <= x’

   Bukti

·         x + y = y dan x + z = z, sehingga x + yz = (x + y) (x + z) = yz

·         Jika x + y = y, maka x + (y + z) = (x + y) + z = y + z

·         Dengan hukum penyerapan, xz + x = x atau xz <= x

·         x <= y, maka x + y = y dan y’ = (x + y)’ sehingga y’ + x’ = (x + y)’ + x’ = ((x + y)x’) dengan hukum penyelesaian Konversi (x’)’ = x